如何找到浮点数的尾数？

C++从 C继承了浮点特性的。C将浮点数建模为 ±be • sum(fk•b−k, 1 ≤ k ≤ p), 其中 b 是格式的固定基数，p 是固定精度 [数字位数]。e 是浮点表示中的指数部分，且 fk 是尾数的基数 b 的数字。尾数的值为sum(fk•b−k, 1 ≤ k ≤ p).

我想据此实现一种扩展范围的浮点格式，在大部分计算中使用本机浮点对象，并在必要时对其重新缩放以将指数保持在边界之内，同时在一个独立的整数对象中跟踪指数的变化。

解决方案

C++为此提供了一个标准函数，frexp，从C 继承而来。std::frexp(x, &e) 将返回 x，若可能，则将其缩放到 [½, 1) 区间内，并把相应的指数存储在 int e 中：

#include <iostream>
#include <cmath>


int main(void)
{
    float x = .78125 * 1024;
    int e;
    float y = std::frexp(x, &e);
    std::cout << "The significand of " << x << " is " << y << ".\n";
    std::cout << "The exponent is " << e << ".\n";
}

（IEEE-754将尾数建模为在 [1, 2) 的二进制格式。要得到这个区间的尾数，只需使用 y = 2 * std::frexp(x, &e) 并从 e 中减去1。）

然而，实现扩展范围浮点运算的另一种方法是设定一些边界，例如2−63和 2+63。随后，当一个数的量级超出该范围（且非零、无穷大或NaN）时，通过乘以一个固定因子进行重新缩放，例如2+63与 2−63。这样做的优点是仅使用快速的基本浮点运算（比较和乘法），而不是可能较慢的库函数 frexp。

（注意，边界和补偿因子不必对称；它们可以根据应用需要进行调整。）

脚注

1零值、无穷大和NaN当然不能被缩放到 [½, 1) 区间。