我不了解Julia的 qr 函数的行为。

对于 qr(A_1) 的结果，A_1 的秩为2，因此结果符合预期。

另一方面，qr(A_2) 的结果令人困惑。由于 A_2 的秩为1，我原本期望 Q 的列数为1，R 的行数也为1。然而，实际结果在 Q 中显示有2 列，在 R 中显示有2 行。

在我看来，Q 的第二列和 R 的第二行似乎没有意义。请解释 qr 的这看似怪异的行为。

using LinearAlgebra

e_1 = zeros(4)
e_1[1] = 1
e_2 = zeros(4)
e_2[2] = 1

A_1 = [e_1 e_2]
Q, R = qr(A_1)
display(Matrix(Q))
display(R)

4×2 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0
 0.0  1.0
 0.0  0.0
 0.0  0.0
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0
 0.0  1.0

A_2 = [e_1 e_1]
Q, R = qr(A_2)
display(Matrix(Q))
display(R)

4×2 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0
 0.0  1.0
 0.0  0.0
 0.0  0.0
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  1.0
 0.0  0.0

解决方案

从数学角度看，矩形矩阵的QR分解有时会出现一些无意义的数值。你所期望的，这被称为“瘦QR”或“简化的QR分解”。

维基百科 > QR分解 > 矩形矩阵